Rasjonale funksjoner.

Presentasjon om: "Rasjonale funksjoner."— Utskrift av presentasjonen:

1 Rasjonale funksjoner

2 Rasjonale funksjoner En rasjonal funksjon er en funksjon på formen
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 Der 𝑃(𝑥) og 𝑄(𝑥) er polynomer, og 𝑄 𝑥 må ha minst grad 1. Merk at den ikke er definert for x-verdier der 𝑄(𝑥) = 0.

3 Eksempler på rasjonale funksjoner
𝑦= 1 𝑥 𝑦= 2𝑥 𝑥−1 𝑦= 3 𝑥 2 +4𝑥 2 𝑥 4 −1

4 Geogebra 𝑦= 1 𝑥

5 Geogebra 𝑦= 2𝑥 𝑥−1

6 Geogebra 𝑦= 3 𝑥 2 +4𝑥 2 𝑥 4 −1

7 Rasjonale funksjoner Eksempel: 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥+1 Vi ser at det skjer noe med grafen når vi nærmer oss x=-1 F(2)=0  Nullpunktet

8 Rasjonale funksjoner Eksempel: 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 𝑥 2 +𝑥−6 , hvor 𝐷 𝑓 =ℝ∖{−3, 2}. Hvordan tror dere denne ser ut?

9

10 Oppgave Vi tegnet grafene til fire funksjoner. Vurder hvilken som er hvilken. 𝑓 𝑥 = 𝑥−5 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 = 𝑥+3 𝑥− ℎ 𝑥 = 𝑥 4 +3 𝑥 3 − 𝑥 2 +5𝑥 𝑖 𝑥 =7 𝑥 2 −3𝑥+2

11 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥+1

12 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 𝑥 2 +𝑥−6

13 Asymptoter Den loddrette linjen kalles for en vertikal asymptote.
Den vannrette linjen gitt kalles for en horisontal asymptote. Det finnes også en tredje type asymptoter som er diagonale, og som vi kaller for skrå asymptoter – disse er ikke pensum i år pga. tidsmangel.

14 Vertikale asymptoter

15 Vi ser at funksjonen ikke er definert for x=0
Vi ser at funksjonen ikke er definert for x=0. Der får vi en vertikal asymptote. Vi får dette fordi vi får høyere og høyere verdi desto nærmere vi kommer null på den positive siden, og lavere verdi desto nærmere vi kommer null fra den negative siden 𝑦= 1 𝑥

16 Hvis vi tenker oss at vi ikke ser grafen foran oss, og vi lurer på om den har en asymptote, så kan vi resonnere slik: hvis den har en asymptote, så må det være der vi får 0 i nevneren. Det vil si x = 1. Så lurer vi nå på om dette faktisk er en asymptote. Vi prøver med å sette inn x-verdier som er nesten lik 1, og ser hva y blir. 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥−1

17 OBS! Vær oppmerksom på at det ikke er alltid at vi får vertikale asymptoter selv om vi får et uttrykk i nevneren! F.Eks 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −1 𝑥−1 Her kan vi tro at det er en vertikal asymptote for x=1, siden funksjonen ikke er definert for x=1. Vi må kontrollere at vi får større og større y-verdier (med eller uten minustegn foran) jo mer vi nærmer oss 0 i nevneren. Sjekk alltid dette!

18 OBS! Hvis vi prøver å sette inn x-verdier som er nær 1, får vi ingen store y-verdier. F.eks. x = 1,00001 gir y ≈ 2,00001.

19 Horisontale asymptoter

20 Vi ser at funksjonen også har en horisontal asymptote
Vi ser at funksjonen også har en horisontal asymptote. Den er gitt ved y=0, og er den y-verdien vi får hvis vi setter inn kjempestore tall for absoluttverdien til x. 𝑦= 1 𝑥

21 Også denne har en horisontal asymptote
Også denne har en horisontal asymptote. Om vi setter inn et veldig stort tall for x, så vil vi få to nesten like store tall over og under brøkstreken, og derfor har vi asymptote for y=1. 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥−1

22 Horisontal asymptote til 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥−1
Et triks som kan gjøre det lettere å finne den horisontale asymptoten er å dele på x over og under brøkstreken. Da står vi igjen med 𝑓 𝑥 = 1−2/𝑥 1−1/𝑥 Og siden 2 𝑥 →0 og 1 𝑥 →0 når x absoluttverdien til x kjempestor så vil f(x) gå mot 1. Vi kan skrive dette som: f(x)= 1−2/𝑥 1−1/𝑥 →1 når 𝑥→±∞.

23 Horisontale asymptoter
Hvis vi skal finne den horisontale asymptoten til 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 2 +3𝑥−1 4 𝑥 2 −7 , da gjør vi følgende: Divider med x² overalt oppe og nede. Vi får da: 𝑓 𝑥 = 2+3/𝑥−1/ 𝑥 2 4−7/ 𝑥 2 Når absoluttverdien til x blir stor, da går 3 𝑥 →0, 𝑥 2 →0 og 𝑥 2 →0. Det følger at 𝑓 𝑥 = 2+3/𝑥−1/ 𝑥 2 4−7/ 𝑥 2 → 2 4 = 1 2 når 𝑥→±∞. Altså er 𝑦= 1 2 en horisontal asymptote.

24

25 Eksempler på bruk

26 Eksempler på bruk: I ungdomskolen møter man rasjonale funksjoner i form av omvendtproposjonalitet. 𝑦= 𝑎 𝑥 Eksempel: Det er 12 kakestykker på et fat. Hvor mange kakestykker får hvert barn om det er x barn?

27 Eksempler på bruk I økonomi ser vi bruk av rasjonale funksjoner i forbindelse med f.eks enhetskosnadsfunksjoner. Om produksjonen av 𝑥 enheter koster 𝑎𝑥+𝑏 vil kostnaden for hver enhet være: 𝐴 𝑥 = 𝑎𝑥+𝑏 𝑥 =𝑎+ 𝑏 𝑥 Vi ser at er 𝑥=0 vertikal asymptote og y=𝑎 er horisontal asymptote.

28 Oppgaver Finn asymptotene til følgende funksjoner: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−8
l(x) = 𝑥−1 𝑥−2 h 𝑥 = 1 𝑥+2 m 𝑥 = 𝑥+1 𝑥−8 i 𝑥 = 1 2𝑥+1 n(x) = 𝑥−1 𝑥−2 j 𝑥 = 𝑥−7 𝑥+3 o(x)= 𝑥+1 𝑥+2

29 Oppgaver dere kan gjøre hjemme
Alfa, s. 334 (utgave 1) / s. 370 (utgave 2): Oppgave 4.45, 4.46, 4.47 Peer har mange fine oppgaver om rasjonale funksjoner!